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统计 - Γ分布



伽马分布表示具有两个参数族的连续概率分布。伽马分布通常采用三种参数组合方式。

  • 形状参数 k 和尺度参数 θ

  • 形状参数 α = k 和逆尺度参数 β = \frac{1}{θ},称为速率参数。

  • 形状参数 k 和均值参数 μ = \frac{k}{β}

Gamma Distribution

每个参数都是正实数。伽马分布是在以下标准下推导出的最大熵概率分布。

公式

{E[X] = kθ = \frac{α}{β} > 0 \ 且为固定值。 \\[7pt] E[ln(X)] = ψ(k) + ln(θ) = ψ(α) - ln(β) \ 且为固定值。}

其中:

  • {X} = 随机变量。

  • ψ = 双伽马函数。

使用形状 α 和速率 β 的特征

概率密度函数

伽马分布的概率密度函数为:

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公式

{f(x; α, β) = \frac{β^α x^{α - 1} e^{-xβ}}{Γ(α)} \ 其中 \ x ≥ 0 \ 且 \ α, β > 0}

其中:

  • α = 位置参数。

  • β = 尺度参数。

  • x = 随机变量。

累积分布函数

伽马分布的累积分布函数为:

公式

{F(x; α, β) = \int_0^x f(u; α, β) du = \frac{γ(α, βx)}{Γ(α)}}

其中:

  • α = 位置参数。

  • β = 尺度参数。

  • x = 随机变量。

  • γ(α, βx) = 下不完全伽马函数。

使用形状 k 和尺度 θ 的特征

概率密度函数

伽马分布的概率密度函数为:

公式

{f(x; k, θ) = \frac{x^{k - 1} e^{-\frac{x}{θ}}}{θ^k Γ(k)} \ 其中 \ x > 0 \ 且 \ k, θ > 0}

其中:

  • k = 形状参数。

  • θ = 尺度参数。

  • x = 随机变量。

  • Γ(k) = 在 k 处计算的伽马函数。

累积分布函数

伽马分布的累积分布函数为:

公式

{F(x; k, θ) = \int_0^x f(u; k, θ) du = \frac{γ(k, \frac{x}{θ})}{Γ(k)}}

其中:

  • k = 形状参数。

  • θ = 尺度参数。

  • x = 随机变量。

  • γ(k, \frac{x}{θ}) = 下不完全伽马函数。

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