统计 - Γ分布

伽马分布表示具有两个参数族的连续概率分布。伽马分布通常采用三种参数组合方式。

形状参数 $k$ 和尺度参数 $θ$ 。
形状参数 $α = k$ 和逆尺度参数 $β = \frac{1}{θ}$ ，称为速率参数。
形状参数 $k$ 和均值参数 $μ = \frac{k}{β}$ 。

每个参数都是正实数。伽马分布是在以下标准下推导出的最大熵概率分布。

公式

${E[X] = kθ = \frac{α}{β} > 0 \ 且为固定值。 \\[7pt] E[ln(X)] = ψ(k) + ln(θ) = ψ(α) - ln(β) \ 且为固定值。}$

其中：

${X}$ = 随机变量。
$ψ$ = 双伽马函数。

使用形状 $α$ 和速率 $β$ 的特征

概率密度函数

伽马分布的概率密度函数为：

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公式

${f(x; α, β) = \frac{β^α x^{α - 1} e^{-xβ}}{Γ(α)} \ 其中 \ x ≥ 0 \ 且 \ α, β > 0}$

其中：

$α$ = 位置参数。
$β$ = 尺度参数。
$x$ = 随机变量。

累积分布函数

伽马分布的累积分布函数为：

公式

${F(x; α, β) = \int_0^x f(u; α, β) du = \frac{γ(α, βx)}{Γ(α)}}$

其中：

$α$ = 位置参数。
$β$ = 尺度参数。
$x$ = 随机变量。
$γ(α, βx)$ = 下不完全伽马函数。

使用形状 $k$ 和尺度 $θ$ 的特征

概率密度函数

伽马分布的概率密度函数为：

公式

${f(x; k, θ) = \frac{x^{k - 1} e^{-\frac{x}{θ}}}{θ^k Γ(k)} \ 其中 \ x > 0 \ 且 \ k, θ > 0}$

其中：

$k$ = 形状参数。
$θ$ = 尺度参数。
$x$ = 随机变量。
$Γ(k)$ = 在 k 处计算的伽马函数。

累积分布函数

伽马分布的累积分布函数为：

公式

${F(x; k, θ) = \int_0^x f(u; k, θ) du = \frac{γ(k, \frac{x}{θ})}{Γ(k)}}$

其中：

$k$ = 形状参数。
$θ$ = 尺度参数。
$x$ = 随机变量。
$γ(k, \frac{x}{θ})$ = 下不完全伽马函数。

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统计 - Γ分布

公式

使用形状 αα 和速率 ββ 的特征

概率密度函数

公式

累积分布函数

公式

使用形状 kk 和尺度 θθ 的特征

概率密度函数

公式

累积分布函数

公式

使用形状 $α$ 和速率 $β$ 的特征

使用形状 $k$ 和尺度 $θ$ 的特征